用《数学解题的万用表》应对所有题型

新学期开始，无论你是高一的还是高三的，都要在开学之初打好基础，为日后做好充足的准备。数学是大家关注的重点，也是提分的难点，所以首先从这个数学开始，教大家一套万能的解题方法，让你学会规范思考的同时再快速提高成绩。

2013高考提分四步兵法中，我们也向大家提出了数学题型通解的概念，并不是通过一套解题模板去解答多种题型，而是通过一种思维模板去解答全部题型，这与数学家波利亚的《数学怎样解题表》，从思想上是非常一致的。

　乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱.由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME(国际数学教育大会)聘为名誉主席.

波利亚《怎样解题表》

波利亚是围绕”怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上。这与玖久教育提出的“一切从问题出发”，以“如何解决问题”的思维去学习是一致的：

“怎样解题”表的呈现

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“怎样解题”表

第一，你必须弄清问题

弄清问题

未知数是什么?已知数据(指已知数、已知图形和已知事项等的统称)是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

画张图。引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来?

第二，找出已知数与求知数之间的联系。

如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。

你应该最终得出一个求解的计划。

拟定计划

你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?

你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?

看着未知数!试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗?

你能不能利用它?你能利用它的结果吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?

你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?

回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其它数据?如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?

你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?

第三，实行你的计划。

实现计划

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步是正确的?你能否证明这一步是正确的?

第四，验算所得到的解。

回顾反思

你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能否一下子看出它来?

你能不能把这结果或方法用于其它的问题?

我们通过2012北京高考数学第19题来看如何实现，并让大家思考下这道题：

这两道题的题型明显不同，但是用波利亚的数学怎样解题表去套用，是很快能够解决问题的。

我们先看19题：

第一、弄清问题：

1、你要求解的是什么

2、有哪些已知条件

第①步要求解的是m的取值范围，限定条件是曲线C的焦点在x轴上，第②步求证的是三点共线，给的条件是m的值，交点ABMN，两条直线的方程

那么通过已知，和要求解的部分，我们必须把这些通过一些数学元素关联起来。

第二、拟定计划

第①步：我们要怎样求出m的取值范围?既然要求的是取值范围，那么必定有条件限制，题目所给的条件限制是2点，第一曲线C为椭圆，第二，交点在x轴上，这两个条件就给了我们制定计划的要素。

第②部：如何证明三点共线?通过怎样的方式去证明?三点共线我们可以转为任意两点之间斜率相同，故而可以设定K1=K2，或者证明AG向量，AN向量共线。那么选定你喜好的方向，制定计划后，就可以实施了。

第三、实施计划

第①问，我们通过椭圆方程的表达式进行转化，然后通过限定条件，即可得出结论

第②问，如果通过斜率去证明，那么我们想办法把式子转化为斜率的表达方式

或者直接求斜率

如果要通过向量证明，那么殊途同归：

第四：总结与回顾，我们回顾的是什么呢?是思想。这道题解题的全部思想在于：找出问题的所在，以及已知的条件，我们将问题转化为数学元素，如三点共线转为斜率相同。把条件的差异性转为相同性，如第①步将原式子转为椭圆的标准表达式，第②步又转为一元二次方程表达式。这就是认清楚问题后，开始拟定计划。而后就能顺其自然的实施了。

大家试试看能不能通过这种思想，解决第20题?

如果不能解决，对照答案，按照上面的思想去思考一下

高三一开学，马上用这样的方式训练自己的解题思路和学习知识点的方式，刚开始有点难以坚持。当过了两周之后，你就形成习惯了，在做题的时候会不知不觉一样用这样的方式去思考。很快，你再做数学题的时候就更加得心应手，速度和准确率都相应的提高了。大家不妨一起训练一下吧!